Математика. ЕГЭ-2011. Задача С1

Задача С1 – это относительно несложное уравнение или система уравнений, которое может содержать тригонометрические, логарифмические, показательные функции, степени и корни.

Чаще всего при его решении требуется просто провести аккуратные преобразования; возможно, потребуется замена переменной, позволяющая свести уравнение к квадратному, и отбор корней, необходимый из-за ограниченности новой переменной, наличия выражений с переменной в знаменателях алгебраических дробей, под знаками корней четной степени или логарифмов.

В заданиях ЕГЭ по математике 2010 года, как и в диагностических работах, проводимых МИОО в 2010-2011 учебном году, в задаче С1 требовалось решить уравнение или систему уравнений, содержащих тригонометрическую функцию.

Критерии оценивания выполнения задания С1 образца 2010 года:


Содержание критерия Баллы
Обоснованно получен верный ответ 2
Получен ответ, но решение неверно только из-за того, что не учтены ограничения на знак или величину выражения sin x (cos x)

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше 0

Что нужно помнить при решении задачи С1?

1. Обратите внимание, что критерии проверки задачи С1 достаточно строги. Неверный ответ, полученный вследствие арифметической ошибки, уже не подпадает под критерии на 1 балл. Поэтому в преобразованиях нужно быть особенно аккуратными.

2. Задача С1 – это самая простая задача группы С. При ее решении не должны возникать громоздкие преобразования и сложные вычисления. Если же они появились – немедленно остановитесь, проверьте решение и попробуйте понять, что же здесь не так.

3. Не пытайтесь с самого начала искать область допустимых значений переменной в виде некоторого множества значений х. Лучше для наглядности изобразить все ограничения на тригонометрическом круге и следить за равносильностью преобразований. Отбор решений также лучше проводить с помощью тригонометрического круга.

4. Следите за множеством значений sin x и cos x!

5. Проверяющие оценивают математическое содержание представленного вами решения. Особенности записи учитываться не должны. Поэтому постарайтесь записать свое решение кратко и понятно, но главное – правильно!

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1 (2010).

Решить систему уравнений: {lbrace}{matrix{2}{1}{{y + cosx = o,} {(5 sqrt{cos x} - 1)(4y + 5) = 0}}}

Решение. Из второго уравнения получаем: {lbrace}{matrix{2}{1}{{y=-5/4,} {cosx >= 0}}} или {cosx=1/25}

Если y= -5/4, то из первого уравнения следует, что cosx =5/4.

Так как 5/4>1, то уравнение не имеет решений.

Если cosx = 1/25,то x = (pm arccos1/25 + 2pi n), n epsilon  Z, и из первого уравнения y =-1/25.

Ответ: (pm arccos1/25 + 2pi n), n epsilon  Z



Пример 2 (2007).

Решить уравнение: log_sinx(sqrt{3}sin 2x+2sin^2x+sin x) = 1

Решение.

Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице.

Изобразим множество решений системы неравенств

{lbrace}{matrix{2}{1}{{sinx > 0,} {sin x <>1}}} на тригонометрическом круге.

Теперь решаем уравнение:

log_sinx(sqrt{3}sin 2x+2sin^2x+sin x) = 1, doubleleftright

sqrt{3}sin 2x + 2sin^2x + sin x = sin x, doubleleftright

2sinx(sqrt{3}cos x + sin x) = 0, doubleleftright

sinx = 0 (не подходит) или tg x = - sqrt{3} doubleleftright

x = - pi /3 + pi n, где n epsilon Z

С учетом ограничений на множество значений sin x получим x = {2pi}/3 + 2 pi n, n epsilon Z

Ответ: {2pi}/3 + 2 pi n, n epsilon Z

При решении этого уравнения многими учениками была допущена одна и та же «тактическая» ошибка: первым делом они выписали все ограничения на область допустимых значений переменной

{lbrace}{matrix{3}{1}{{sqrt{3}sin 2x+2sin^2x+sin x > 0,} {sin x > 0,}{sinx <>1,}}}

после чего «увязли» в решении первого неравенства! Однако легко заметить, что при переходе от исходного уравнения к уравнению

sqrt{3}sin 2x + 2sin^2x + sin x = sin x

правая часть полученного уравнения положительна на ОДЗ, а следовательно, левая часть тоже автоматически становится положительной, и решать первое неравенство не требуется.

Решите самостоятельно следующие примеры.

3 (2008). {sqrt{3}cos^4x - sqrt{3}sin^4x} / {tg^3{2x}} = {sin 4x}/ {tg^3{2x}}

Ответ: (-1)^n{pi/6} + {pi n}/2, n epsilon Z



4. {lbrace}{matrix{2}{1}{{sqrt{y} + 2 sin x = 0,} {16^cosx - 10 4^cosx + 16 = 0}}}

Ответ: (- pi/3 + 2pi n; 3), n epsilon Z

Алексей Ярдухин, 31.01.2011, 4330
  • X
Об авторе
Новости образования Летное училище в Краснодаре пополнится 15 будущими военными летчицами Институт правовой экономики в Москве лишился лицензии МИИТ снова сменил имя Рособрнадзор отозвал государственную аккредитацию у Московского института Телевидения и Радиовещания «Останкино» Приемная комиссия в самарские вузы в самом разгаре В Рязанском медицинском университете завершились выпускные вечера Няндомскому железнодорожному колледжу исполнилось 95 лет! В Нарьян-Маре впервые прошла акция «Доступный ЕГЭ» В Самарском университете имени Королёва открылся Международный конгресс В Самаре чествовали выпускников, которые сдали ЕГЭ на 100 баллов Новоиспеченные журналисты получили дипломы о высшем образовании Выпускники частной школы "Райские птички" из Махачкалы получили аттестаты об образовании Ректор РГГУ Е.Н. Ивахненко рассказал о ходе приемной кампании в эфире Первого канала Ученые советы двух университетов приняли решение об объединении